数学の問題を思いついたので投稿。暇つぶしにどうぞ。大学入試レベルくらいと思われます。
数学問題
（問題）ジャンケンのルール決め
Aさん・Bさんがジャンケンを行う。Aさんはグーで１回勝った場合、もしくはチョキ・パーのいずれかでn回勝った場合に勝利する。Bさんはグー・チョキ・パーのいずれかでm回勝った場合に勝利する。Aさん・Bさんの勝率が等しくなるような（m, n）の組み合わせを全て求めよ。
（解答）
ジャンケンを１点先取のゲームとすると、Aさん・Bさんのグー・チョキ・パーの得点の期待値は表１のようになる(m >1, n > 1)。
表１
Aさん Bさん
グー １ 1/m
チョキ 1/n 1/m
パー 1/n 1/m
表１より、Aさん・Bさんの得点の期待値はそれぞれ①、②のようになる。
Aさん 1 * 1/3 + 1/n * 1/3 + 1/n * 1/3 = 1/3 + 2/3 * n ・・・①
Bさん 1/m * 1/3 + 1/m * 1/3 + 1/m * 1/3 = 1/m・・・②
①、②より、Aさん・Bさんの勝率が等しくなるためには式③の条件を満たす必要がある。
1/3 + 2/3 * n = 1/m・・・③
式③を変形して、
m = 3 * n / (n + 2)・・・③’
③’より、n → ∞ のときのmの極限値を求めると、
lim(n → ∞) m = lim(n → ∞) {3 / (1 + 2/n)} = 3・・・④
また、③’より、mをnで微分すると、
dm/dn = d/dn {3 * n / (n + 2)} = 6 / (n + 2)^2 > 0・・・⑤
④、⑤より、m は 1 <= m < 3 の範囲で単調増加することがわかる。また、m, nは自然数であることより、mの候補は１と２になる。
m = 1, 2をそれぞれ③に代入してnを求めると、いずれもm, nが自然数であるので、求める解となる。
(m, n) = (1, 1), (2, 4)・・・（答え）
いかがだったでしょうか？夢の中で学生時代の友人が似たようなルール変更の交渉を持ち掛けていました。(笑)。「君はグーで１回勝てば良い。その代わり俺はグー・チョキ・パーで３回勝てば良いというルールでどう？」みたいな感じで。グー以外認めてない辺り、交渉というより詐欺と言うべきでしょうか。まあ、ルールで遊ぶジャンケンも面白いかもしれませんね(面倒なだけ？)。
